Niveau : Lycée (Seconde générale et technologique)

Introduction au monde fascinant des Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers !

Imaginez un instant que les nombres sont des personnages d’un grand roman d’aventure. Dans cette histoire palpitante, certains d'entre eux, les multiples, se divisent sans effort et se multiplient joyeusement. D'autres, comme les nombres premiers, se battent pour rester uniques, fiers de leur singularité ! Ensemble, ils tissent un réseau intrigant de relations qui façonne la structure même des mathématiques.

Aujourd'hui, nous allons plonger dans cet univers captivant pour explorer les concepts fondamentaux des multiples, des diviseurs et des nombres premiers. Pourquoi ces notions sont-elles si importantes, me direz-vous ? Eh bien, elles sont la clé pour comprendre comment les nombres interagissent entre eux, et elles sont essentielles dans de nombreux domaines, allant de la cryptographie à la musique, en passant par l’art.

Au cours de cette séance, nous allons :

1Comprendre ce que sont les multiples et les diviseurs, à travers des exemples amusants, comme des super-héros qui se regroupent pour former des équipes !

2Identifier les nombres premiers, ces héros solitaires qui, malgré leur taille modeste, ont un rôle crucial à jouer dans le grand théâtre des mathématiques.

3Appliquer ces concepts à des problèmes concrets, que ce soit pour résoudre des énigmes ou pour calculer des portions de gâteau lors d'une fête !

Préparez-vous à une aventure mathématique où chaque nombre a son histoire à raconter. Ensemble, nous allons découvrir les secrets de ces personnages fascinants et apprendre à maîtriser leurs pouvoirs. Êtes-vous prêts à rejoindre cette quête pleine de découvertes et de surprises ? En route vers l’exploration des multiples, diviseurs et nombres premiers !

Chapitre : Les Multiples

Bienvenue dans le chapitre consacré aux multiples, où nous allons explorer la magie de la multiplication et comprendre comment les nombres interagissent entre eux. Préparez-vous à devenir des experts en identification de ces "super-héros" des mathématiques !

Définition et Propriétés des Multiples

Qu'est-ce qu'un multiple ?

Un multiple d'un nombre entier $n$ est le résultat de la multiplication de $n$ par un autre nombre entier. On peut dire que $m$ est un multiple de $n$ s'il existe un entier $k$ tel que :

m = n \times k

Exemples de multiples :

Les multiples de

3

sont :

0, 3, 6, 9, 12, 15, \ldots

(ceux-ci sont obtenus en multipliant

3

par

0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots

)

Les multiples de

5

sont :

0, 5, 10, 15, 20, 25, \ldots

Propriétés des multiples

1Un nombre est toujours un multiple de lui-même :

n = n \times 1

2Le zéro est un multiple de tous les nombres :

0 = n \times 0

3Les multiples de $n$ sont infiniment nombreux :

On peut toujours trouver d'autres multiples en multipliant par des entiers plus grands.

4Les multiples de $n$ qui sont également multiples d'un autre nombre $m$ sont appelés des multiples communs. Par exemple, les multiples communs de

3

5

sont

0, 15, 30, 45, \ldots

Synthèse des propriétés

Propriété	Description
Multiple de lui-même	$n = n \times 1$
Zéro comme multiple	$0 = n \times 0$
Infinis multiples	On peut toujours multiplier par d'autres entiers
Multiples communs	Multiples partagés par plusieurs nombres

Exemples et Applications des Multiples

Jeux de multiples

Jeu 1 : Multi-sauts !

But du jeu : Identifier les multiples d'un nombre choisi dans un temps imparti.

Règle : Choisis un nombre, par exemple

4

. Les participants doivent dire le prochain multiple de

4

(8, 12, 16, etc.) dans l'ordre, en ajoutant un point pour chaque réponse correcte.

Applications pratiques

1Planification d'événements :

Si vous devez organiser un événement pour

30

personnes et que chaque table peut accueillir

6

personnes, combien de tables aurez-vous besoin ?

Calcul : Cherchez les multiples de

6

jusqu'à

30

(6, 12, 18, 24, 30). La réponse est

5

tables.

2Cuisine :

Si une recette nécessite

3

œufs pour

4

personnes, combien d'œufs sont nécessaires pour

20

personnes ?

Calcul : Trouvez le multiple de

4

le plus proche de

20

20 \div 4 = 5

, donc il vous faudra

3 \times 5 = 15

œufs.

Exercices

1Identifie les multiples suivants :

a. Les multiples de

7

jusqu'à

50

b. Les trois premiers multiples de

9

Corrections détaillées :

0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49

0, 9, 18

2Problème de la vie réelle :

Un magasin vend des paquets de bonbons contenant

12

bonbons chacun. Si vous souhaitez acheter suffisamment de paquets pour obtenir

60

bonbons, combien de paquets devez-vous acheter ?

Correction :

Trouver le multiple de

12

qui est

60

60 \div 12 = 5

paquets.

Astuces de mémorisation

Rime des multiples : Pour mémoriser les premiers multiples d'un nombre, créez une petite chanson ou une rime. Par exemple, pour

5

: "5, 10, 15, 20, c’est marrant, avec les multiples, je suis gagnant !"

Utiliser des visualisations : Dessinez des jeux de société avec des cases représentant les multiples pour rendre l'apprentissage plus interactif !

Conclusion

Les multiples sont des outils puissants dans le monde des mathématiques. En comprenant comment ils fonctionnent et comment les utiliser, vous serez mieux préparés à résoudre des problèmes de la vie quotidienne. Dans le prochain chapitre, nous découvrirons les diviseurs et comment ils se lient à notre compréhension des multiples. Restez avec nous pour la suite de cette aventure mathématique !

Chapitre : Les Diviseurs

Bienvenue dans le chapitre consacré aux diviseurs, où nous allons explorer les nombres qui partagent une relation spéciale avec d'autres nombres en les divisant sans reste. Préparez-vous à découvrir comment ces "mystères mathématiques" fonctionnent !

Définition et Propriétés des Diviseurs

Qu'est-ce qu'un diviseur ?

Un diviseur d'un nombre entier $n$ est un entier $d$ tel que lorsque $n$ est divisé par $d$ , il n'y a pas de reste. En d'autres termes, on peut dire que $d$ est un diviseur de $n$ s'il existe un entier $k$ tel que :

n = d \times k

Exemples de diviseurs :

Les diviseurs de

12

sont :

1, 2, 3, 4, 6, 12

(car

12 \div 1 = 12

12 \div 2 = 6

12 \div 3 = 4

12 \div 4 = 3

12 \div 6 = 2

12 \div 12 = 1

Les diviseurs de

15

sont :

1, 3, 5, 15

Propriétés des diviseurs

1Un nombre est toujours un diviseur de lui-même :

n = n \times 1

2Le nombre $1$ est un diviseur de tous les entiers :

n = 1 \times n

3Les diviseurs d'un nombre sont toujours au nombre fini :

Bien que certains nombres aient de nombreux diviseurs, il n’y en a jamais un nombre infini pour un même entier.

4Les diviseurs communs :

Les diviseurs d’un nombre qui sont aussi des diviseurs d’un autre nombre sont appelés diviseurs communs. Par exemple, les diviseurs communs de

12

15

sont

1

3

Synthèse des propriétés

Propriété	Description
Diviseur de lui-même	$n = n \times 1$
Un diviseur universel	$1$ est un diviseur de tous les entiers
Finitude des diviseurs	Chaque entier a un nombre fini de diviseurs
Diviseurs communs	Diviseurs partagés par plusieurs entiers

Exemples et Applications des Diviseurs

Défis de diviseurs

Défi 1 : Trouvez les diviseurs

Objectif : Identifier tous les diviseurs d’un nombre choisi.

Règle : Choisissez un nombre, par exemple

18

. Les participants doivent lister tous les diviseurs de

18

Résultat attendu pour $18$ :

1, 2, 3, 6, 9, 18

Applications pratiques

1Répartition de ressources :

Si vous avez

24

bonbons et que vous souhaitez les répartir également entre

8

amis, combien de bonbons chaque ami recevra-t-il ?

Calcul :

24 \div 8 = 3

, donc chaque ami reçoit

3

bonbons.

2Organisation d’événements :

Si vous devez organiser des tables pour

20

personnes et que chaque table peut accueillir

5

personnes, combien de tables aurez-vous besoin ?

Calcul :

20 \div 5 = 4

, donc vous aurez besoin de

4

tables.

Jeux mathématiques

Jeu 2 : Devine le diviseur !

But du jeu : Trouver un diviseur d’un nombre donné dans un temps limité.

Règle : Choisissez un nombre, par exemple

30

. Les participants doivent trouver autant de diviseurs que possible en

30

secondes.

Exercices

1Identifie les diviseurs suivants :

a. Les diviseurs de

36

b. Les diviseurs de

28

Corrections détaillées :

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1, 2, 4, 7, 14, 28

2Problème de la vie réelle :

Une boîte contient

45

crayons. Si vous souhaitez donner des crayons à des enfants en les répartissant également, quelle est la plus grande quantité de crayons que vous pouvez donner à chaque enfant sans en avoir un restant ?

Correction :

Trouver le plus grand diviseur de

45

(autre que

45

lui-même).

Les diviseurs de

45

sont

1, 3, 5, 9, 15

45

, donc la plus grande quantité est

15

crayons.

Astuces de mémorisation

Chanson des diviseurs : Pour mémoriser les diviseurs d'un nombre, créez une petite chanson. Par exemple, pour

12

, chantez : "1, 2, 3, 4, 6, 12, ça fait plein de diviseurs, tous sont là, c’est merveilleux !"

Utiliser des tableaux : Créez un tableau avec des nombres et leurs diviseurs pour rendre l'apprentissage visuel et engageant !

Conclusion

Les diviseurs sont des éléments essentiels pour comprendre la structure des nombres et résoudre divers problèmes. En maîtrisant les concepts de divisibilité, vous aurez de nombreux outils pour vous aider dans la vie quotidienne et dans vos études. Dans le prochain chapitre, nous plongerons dans le monde fascinant des nombres premiers et découvrirons leur importance dans le cadre plus large des mathématiques. Restez avec nous pour la suite de cette aventure mathématique !

Chapitre : Les Nombres Premiers

Bienvenue dans le chapitre consacré aux nombres premiers ! Préparez-vous à plonger dans l'univers fascinant de ces nombres mystérieux qui ne peuvent être divisés que par 1 et eux-mêmes. Nous allons découvrir leur définition, leur identification, et leurs applications dans divers domaines, y compris la cryptographie et bien plus encore !

1. Définition et Identification des Nombres Premiers

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Cela signifie qu'il ne peut pas être divisé de manière entière par un autre nombre que ces deux-là.

Exemples de nombres premiers :

2

est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont

1

2

3

est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont

1

3

4

n'est pas un nombre premier car il a trois diviseurs :

1, 2, 4

Critères d'identification des nombres premiers

Pour identifier si un nombre est premier, vous pouvez suivre ces étapes :

1Vérifiez si le nombre est supérieur à 1.

2Testez la divisibilité : Pour un nombre entier

n

, vérifiez s'il est divisible par des nombres entiers

d

tels que

2 \leq d \leq \sqrt{n}

3Si

n

n'est pas divisible par aucun de ces

d

, alors

n

est un nombre premier.

Exemple de vérification :

Vérifions si

17

est un nombre premier :

\sqrt{17} \approx 4.12

, donc nous testons la divisibilité par

2, 3, 4

17 \div 2

(non entier),

17 \div 3

(non entier),

17 \div 4

(non entier).

Conclusion :

17

est un nombre premier.

Importance des nombres premiers

Les nombres premiers jouent un rôle crucial dans divers domaines des mathématiques et de l'informatique :

Fondation des nombres : Tous les entiers peuvent être exprimés comme un produit de nombres premiers, ce qui est connu sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétique.

Cryptographie : Les nombres premiers sont largement utilisés pour sécuriser les communications numériques et les transactions en ligne.

Théorie des nombres : Ils sont au cœur de nombreuses recherches mathématiques et théories.

Synthèse des critères d'identification

Critère	Description
Supérieur à 1	Un nombre premier doit être supérieur à 1
Test de divisibilité	Vérifiez la divisibilité jusqu'à $\sqrt{n}$
Conclusion	S'il n'est pas divisible par ces nombres, c'est un nombre premier

2. Applications des Nombres Premiers

2.1 Cryptographie

La cryptographie est l'art de coder des informations pour les protéger contre l'accès non autorisé. Les nombres premiers sont essentiels dans les algorithmes de chiffrement, tels que RSA (Rivest-Shamir-Adleman), qui utilise des grands nombres premiers pour créer des clés de sécurité.

Exemple d'application :

Supposons que nous choisissons deux nombres premiers

p = 61

q = 53

Le produit

n = p \times q = 61 \times 53 = 3233

est utilisé comme clé publique.

La sécurité repose sur la difficulté de factoriser

n

p

q

2.2 Jeux liés aux nombres premiers

Les nombres premiers peuvent également être intégrés dans des jeux et des énigmes. Par exemple, un jeu peut consister à trouver et à additionner tous les nombres premiers inférieurs à un certain nombre.

Exemple de jeu amusant :

Jeu des nombres premiers : Les joueurs doivent écrire un nombre entier au tableau et trouver tous les nombres premiers jusqu'à ce nombre.

Par exemple, si le nombre est

20

, les joueurs écrivent :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

2.3 Applications dans la technologie

Outre la cryptographie, les nombres premiers sont utilisés dans divers algorithmes informatiques, le traitement des données et les systèmes de communication. Leur nature unique les rend idéaux pour créer des systèmes robustes.

Exercices

1Identifiez les nombres premiers suivants :

29

30

37

Corrections détaillées :

29

: éprouvé, il n'est divisible que par

1

29

(nombre premier).

30

: a plusieurs diviseurs (non premier).

37

: éprouvé, il n'est divisible que par

1

37

(nombre premier).

2Problème de la vie réelle :

Trouvez tous les nombres premiers entre

1

50

Correction :

Les nombres premiers sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Astuces de mémorisation

Chanson des nombres premiers : Créez une petite chanson pour mémoriser les premiers. Par exemple, pour

1

30

: "2, 3, 5, 7, et 11, 13, 17, 19, et 23, tous sont là, les premiers, c'est merveilleux !"

Récit amusant : Imaginez une histoire où les nombres premiers sont les héros qui ne peuvent être divisés par personne d'autre qu'eux-mêmes, affrontant les "diviseurs" qui veulent les diviser.

Conclusion

Les nombres premiers sont des éléments fondamentaux en mathématiques, avec des applications allant de la théorie des nombres à la cryptographie moderne. En comprenant les nombres premiers, vous ouvrez la porte à de nombreux concepts mathématiques avancés et à des applications pratiques. Dans le prochain chapitre, nous aborderons les multiples et leur relation avec les diviseurs et les nombres premiers. Restez avec nous pour continuer cette aventure mathématique passionnante !

Chapitre : Liens entre Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers

Bienvenue dans ce chapitre fascinant où nous explorerons les relations profondes entre les multiples, les diviseurs et les nombres premiers. Ces concepts sont essentiels pour mieux comprendre les mathématiques et leur fonctionnement. Nous allons découvrir comment ils interagissent les uns avec les autres et comment cette compréhension peut être appliquée dans des situations pratiques.

1. Rôle des Multiples et Diviseurs avec les Nombres Premiers

1.1 Définition des Multiples et des Diviseurs

Multiples

Un multiple d'un nombre entier $a$ est le produit de $a$ par un autre entier $k$ . On peut exprimer cela par la formule :

\text{multiple} = a \times k \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}^+

Exemples :

Les multiples de

3

sont :

3, 6, 9, 12, 15, ...

Les multiples de

5

sont :

5, 10, 15, 20, 25, ...

Diviseurs

Un diviseur d'un nombre entier $n$ est un entier $d$ tel que :

n \div d \quad \text{est un entier}

Autrement dit, $d$ divise $n$ sans laisser de reste.

Exemples :

Les diviseurs de

12

sont :

1, 2, 3, 4, 6, 12

Les diviseurs de

15

sont :

1, 3, 5, 15

1.2 Relations entre Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers

Les nombres premiers jouent un rôle clé dans la formation des multiples et des diviseurs. Voici quelques points clés sur leurs interconnexions :

Un nombre premier

p

n’a que deux diviseurs :

1

p

lui-même.

Tout multiple d'un nombre premier reste divisible par ce nombre premier. Par exemple, tous les multiples de

5

(comme

10, 15, 20

) sont également divisibles par

5

p

est un nombre premier et que

n = p^k

(où

k

est un entier positif), alors les diviseurs de

n

sont

1, p, p^2, \ldots, p^k

1.3 Exemples concrets

Exemple d'interconnexion

Considérons les nombres premiers $2$ et $3$ :

Les multiples de

2

2, 4, 6, 8, 10, ...

Les multiples de

3

3, 6, 9, 12, 15, ...

Les multiples de $6$ (qui est $2 \times 3$ ) sont également des multiples de $2$ et $3$ . Les diviseurs de $6$ incluent $1, 2, 3, 6$ .

1.4 Applications pratiques

Facteur commun : Dans la recherche de communs multiples, les nombres premiers aident à décomposer les nombres en produits de facteurs premiers.

Résolution de problèmes : Utiliser les multiples et les diviseurs peut simplifier des problèmes mathématiques complexes.

Synthèse des concepts

Concept	Définition
Multiple	Produit d'un nombre entier par un entier positif
Diviseur	Nombre qui divise un entier sans reste
Nombre premier	Entier supérieur à 1, divisible uniquement par 1 et lui-même

2. Problèmes et Résolutions

2.1 Problèmes mathématiques

Voici quelques problèmes qui vous permettront d'appliquer vos connaissances sur les multiples, les diviseurs et les nombres premiers.

Problème 1 : Trouvez les multiples

Trouvez les 5 premiers multiples de

7

et de

11

Solution :

Multiples de

7

7, 14, 21, 28, 35

Multiples de

11

11, 22, 33, 44, 55

Problème 2 : Identifiez les diviseurs

Quels sont les diviseurs de

36

Solution :

Les diviseurs de $36$ sont : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ .

Problème 3 : Application des nombres premiers

Proposez un nombre entier et trouvez tous les nombres premiers qui le divisent.

Exemple :

Prenons $60$ :

Les nombres premiers qui divisent

60

sont :

2, 3, 5

2.2 Exercices pratiques

1Identifiez les multiples suivants :

a. Multiples de

4

jusqu'à

40

b. Multiples de

6

jusqu'à

60

2Trouvez les diviseurs des nombres suivants :

28

45

3Problème d'application :

Trouvez les premiers nombres premiers inférieurs à

30

et déterminez leurs multiples jusqu'à

60

Corrections détaillées

1Multiples :

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60

2Diviseurs :

1, 2, 4, 7, 14, 28

1, 3, 5, 9, 15, 45

3Nombres premiers et multiples :

Nombres premiers inférieurs à

30

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Multiples jusqu'à

60

2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60

3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60

(Et ainsi de suite pour les autres premiers.)

Astuces de mémorisation

Chanson des multiples : Créez une chanson pour mémoriser les multiples d'un nombre. Par exemple, pour

3

: "3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, c'est les multiples de 3 !”

Récit amusant : Imaginez une bataille entre les nombres premiers et les diviseurs, où chaque multiple est un soldat qui se bat avec les diviseurs pour protéger son roi, le nombre premier.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons exploré les interconnexions essentielles entre les multiples, les diviseurs et les nombres premiers. En comprenant ces relations, vous serez mieux équipé pour résoudre des problèmes mathématiques complexes et apprécier la beauté des mathématiques. Dans le prochain chapitre, nous continuerons notre exploration des mathématiques avec d'autres concepts fascinants. Restez avec nous pour cette aventure mathématique !

En conclusion, nous avons parcouru un chemin fascinant à travers les multiples, les diviseurs et les nombres premiers. Vous avez découvert que les multiples et les diviseurs sont non seulement des outils mathématiques, mais aussi des clés qui ouvrent la porte à une meilleure compréhension des relations entre les nombres. Les nombres premiers, quant à eux, jouent un rôle fondamental dans la structure même des mathématiques, tels des super-héros qui protègent l'intégrité des nombres en étant indivisibles !

Alors que nous nous apprêtons à quitter ce chapitre, souvenez-vous de ces concepts comme des fondations solides sur lesquelles vous pouvez bâtir vos compétences mathématiques. Chaque multiple que vous trouvez ou chaque diviseur que vous identifiez est une victoire, un pas de plus dans votre aventure mathématique.

Pour la suite, je vous encourage à plonger dans des problèmes plus avancés sur les nombres entiers. Imaginez un jeu où chaque nombre est un personnage avec ses propres pouvoirs — certains peuvent se multiplier à l'infini, d'autres se divisent comme des bonbons lors d’une fête d’anniversaire ! Appliquer ces concepts à des situations réelles, comme le partage d'une pizza ou la planification d'un événement, rendra votre apprentissage encore plus concret et amusant.

N'oubliez pas, chaque grand mathématicien a commencé quelque part, et c'est à votre tour de continuer cette belle aventure. Osez explorer, questionner et découvrir, car les véritables trésors des mathématiques vous attendent. Avec un peu d'humour et beaucoup de curiosité, chaque défi peut devenir une occasion d'apprendre. Alors, prêts pour la prochaine étape ? En avant, vers de nouvelles découvertes !

Mathématiques - Multiples, diviseurs et nombres premiers

Chapitre : Les Multiples

Définition et Propriétés des Multiples

Qu'est-ce qu'un multiple ?

Propriétés des multiples

Synthèse des propriétés

Exemples et Applications des Multiples

Jeux de multiples

Applications pratiques

Exercices

Astuces de mémorisation

Conclusion

Chapitre : Les Diviseurs

Définition et Propriétés des Diviseurs

Qu'est-ce qu'un diviseur ?

Propriétés des diviseurs

Synthèse des propriétés

Exemples et Applications des Diviseurs

Défis de diviseurs

Défi 1 : Trouvez les diviseurs

Applications pratiques

Jeux mathématiques

Exercices

Astuces de mémorisation

Conclusion

Chapitre : Les Nombres Premiers

1. Définition et Identification des Nombres Premiers

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Exemples de nombres premiers :

Critères d'identification des nombres premiers

Exemple de vérification :

Importance des nombres premiers

Synthèse des critères d'identification

2. Applications des Nombres Premiers

2.1 Cryptographie

Exemple d'application :

2.2 Jeux liés aux nombres premiers

Exemple de jeu amusant :

2.3 Applications dans la technologie

Exercices

Astuces de mémorisation

Conclusion

Chapitre : Liens entre Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers

1. Rôle des Multiples et Diviseurs avec les Nombres Premiers

1.1 Définition des Multiples et des Diviseurs

Multiples

Exemples :

Diviseurs

Exemples :

1.2 Relations entre Multiples, Diviseurs et Nombres Premiers

1.3 Exemples concrets

Exemple d'interconnexion

1.4 Applications pratiques

Synthèse des concepts

2. Problèmes et Résolutions

2.1 Problèmes mathématiques

Problème 1 : Trouvez les multiples

Problème 2 : Identifiez les diviseurs

Problème 3 : Application des nombres premiers

2.2 Exercices pratiques

Corrections détaillées

Astuces de mémorisation

Conclusion

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